Jika \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & x \end{pmatrix} \) dan \( B = \begin{pmatrix} bx & a \\ b & x \end{pmatrix} \), maka jumlah kuadrat semua akar persamaan \( \det A = \det B \) adalah…
- \( \left( \frac{a}{b} \right)^2 - 2(a-b) \)
- \( \left( \frac{b}{a} \right)^2 -2(a-b) \)
- \( \left( \frac{a}{b} \right)^2 - 2(b-a) \)
- \( \left( \frac{b}{a} \right)^2 -2(b-a) \)
- \( \frac{b}{a} - 2(b-a) \)
(SPMB 2006 Regional I)
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini kita ingat kembali bahwa untuk persamaan kuadrat \( ax^2+bx+c=0 \) yang akar-akarnya \( x_1 \) dan \( x_2 \) maka berlaku:
\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} \\[8pt] x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} \\[8pt] x_1^2 + x_2^2 &= (x_1+x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2 \end{aligned}
Selanjutnya, karena \( \det A = \det B \), maka
\begin{aligned} \det A = \det B \Leftrightarrow \begin{vmatrix} a & b \\ b & x \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} bx & a \\ b & x \end{vmatrix} \\[8pt] ax-b^2 &= bx^2-ab \\[8pt] bx^2-ax + b^2-ab &= 0 \\[8pt] x_1^2+x_2^2 &= (x_1+x_2)^2-2x_1 \cdot x_2 \\[8pt] &= \left( -\frac{-a}{b} \right)^2 - 2 \left( \frac{b^2-ab}{b} \right) \\[8pt] &= \left( \frac{a}{b} \right)^2 - 2 \left( b-a \right) \end{aligned}
Jawaban C.